Шанс хотя бы одного события: почему несколько поводов меняют картину

Одно событие — несколько возможностей

Представим, что вероятность опоздания автобуса в отдельный день равна 10%. Это не означает, что за пять дней автобус обязательно опоздает однажды, и не означает, что он будет опаздывать ровно в каждом десятом случае по расписанию. Но если рассматривать пять поездок, возникает другой вопрос: какова вероятность, что автобус опоздает хотя бы раз?

Это бытовая формулировка особого типа задач. Мы не спрашиваем о результате одной попытки, а объединяем несколько возможностей в одно событие: «произошло хотя бы один раз». На слух оно может казаться маловероятным, потому что каждый отдельный шанс невелик. Однако с каждой новой возможностью вероятность того, что событие случится хотя бы однажды, растёт.

Похожий вопрос возникает, когда человек несколько раз за неделю выходит из дома и хочет понять, каков шанс хотя бы раз забыть что-то нужное. Или когда в расписании есть несколько пересадок и важно оценить вероятность хотя бы одной задержки. Такие примеры не требуют денежных ставок: это обычная задача о том, как складываются поводы для события.

Удобнее считать противоположное

Событие «опоздание случилось хотя бы раз» включает множество вариантов: опоздание в первый день, во второй, в несколько дней или во все пять. Перебирать их вручную неудобно. Проще рассмотреть противоположное событие — автобус не опоздал ни разу.

Если вероятность опоздания в одной поездке равна 0,1, вероятность поездки без опоздания равна 0,9. При условии, что результаты поездок независимы и вероятность в каждой из них одинакова, вероятность не опоздать ни разу за пять поездок составляет 0,9 × 0,9 × 0,9 × 0,9 × 0,9, то есть примерно 0,59. Тогда вероятность хотя бы одного опоздания — оставшаяся часть: 1 − 0,59, или примерно 0,41.

Иными словами, при этих допущениях шанс хотя бы одного опоздания за пять поездок составляет около 41%, а не 10%. Это не означает, что опоздание вероятно в каждом отдельном дне на 41%. Число относится ко всему пятидневному периоду и к конкретному вопросу «хотя бы раз».

Почему проценты нельзя просто сложить

Распространённая ошибка — умножить 10% на пять и получить 50%. Такой ответ выглядит разумным, но он не учитывает, что одно и то же расписание может содержать опоздания в нескольких поездках. При сложении мы рискуем посчитать такие исходы больше одного раза.

В нашем примере точный результат при независимых поездках — около 41%, а не 50%. При малых вероятностях и небольшом числе возможностей простая сумма может служить грубой прикидкой, но это именно приближение. Чем чаще событие и чем больше возможностей, тем заметнее разница между простой суммой и точным расчётом.

Важно также не смешивать «хотя бы одно» с «ровно одно». В пяти поездках событие может произойти дважды или трижды, и все эти случаи входят в вероятность «хотя бы раз». Для вероятности ровно одного опоздания нужен другой расчёт: требуется учитывать отдельно варианты, где опоздание приходится на конкретную поездку, а остальные проходят без него.

Главная оговорка: независимость

Умножение вероятностей отсутствия события работает в приведённом виде только при допущении о независимости. Это значит, что результат одной поездки не меняет шансы в другой. В повседневности такое условие часто выполняется лишь приблизительно.

Например, несколько поездок проходят по одному маршруту в период ремонта. Если ремонт замедляет движение каждый день, задержки связаны общим обстоятельством. А если сильный снегопад влияет на расписание в течение всей недели, события тоже могут зависеть друг от друга. В таких ситуациях нельзя автоматически брать вероятность одного дня и возводить вероятность спокойной поездки в степень числа поездок.

Зависимость бывает и в другую сторону: задержка сегодня может привести к изменению расписания завтра, а удачно выбранное время поездки — сделать некоторые дни похожими друг на друга. Чтобы рассчитать вероятность точнее, нужны сведения о том, как именно устроена связь между случаями. Если таких сведений нет, лучше явно сказать, что оценка основана на упрощённом предположении.

Число возможностей меняет вопрос

Полезно сначала определить, что именно считается возможностью и за какой период ведётся подсчёт. «Вероятность опоздать в одну поездку» и «вероятность хотя бы раз опоздать за месяц» — разные величины. Их нельзя сопоставлять напрямую без учёта количества поездок и условий.

Тот же принцип применим к другим бытовым ситуациям: нескольким попыткам дозвониться, нескольким пересадкам или нескольким дням, когда важно взять с собой определённую вещь. Если шанс события в каждом отдельном случае невелик, увеличение числа случаев повышает вероятность хотя бы одного эпизода — при этом величина роста зависит от частоты события и от связи между случаями.

Поэтому фраза «шанс всего один к десяти» неполна, если не указано, о каком промежутке и скольких возможностях идёт речь. А вопрос «случится ли это хотя бы раз?» часто удобнее решать через противоположное событие: вычислить шанс, что не случится ни разу, и вычесть его из единицы. Этот приём помогает точнее читать бытовые вероятности, не превращая приблизительную модель в обещание того, что обязательно произойдёт.